conversations listlengths 2 2 |
|---|
[
{
"from": "human",
"value": "یک چرخدنده بازی تختهای به سه قسمت $A$, $B$ و $C$ تقسیم میشود. احتمال فرود آمدن روی $A$ برابر است با $\\frac{1} {3} $و احتمال فرود آمدن روی $B$ برابر است با $\\frac{5} {12} $. احتمال فرود آمدن روی $C$ چقدر است؟ پاسخ خود را در قالب کسر مشترک بیان کنید."
},
{
"from": "... |
[
{
"from": "human",
"value": "باشگاه ریاضی مدرسه من ۶ پسر و ۸ دختر دارد. باید یک تیم را برای شرکت در مسابقات ایالتی انتخاب کنم. ما میخواهیم که ۶ نفر عضو این تیم باشند. از چند راه میتوان بدون محدودیت افراد را به آن اضافه کرد؟"
},
{
"from": "gpt",
"value": "من نیاز دارم تا از بین ۱۴ نفر، ۶ نفر ... |
[
{
"from": "human",
"value": "چند واژه چهار حرفی با حداقل یک همخوان میتوان از حروف $A$, $B$, $C$, $D$ و $E$ ساخت؟ (توجه داشته باشید که $B$، $C$ و $D$ همآوا هستند ، هر کلمه معتبر است نه فقط لغات انگلیسی)"
},
{
"from": "gpt",
"value": "اولاً تعداد تمام کلمههای ۴ حرفی را بدون محدودیت بر روی کلمه... |
[
{
"from": "human",
"value": "ملیندا دو تاس استاندارد ۶ ضلعی را میاندازد و با این دو عدد که پرتاب میکند ، یک عدد ۲ رقمی ایجاد میکند. برای مثال اگر او 6و3را بیندازد ، میتواند یا ۳۶یا ۶۳ را تشکیل دهد. احتمال اینکه بتواند بین ۱۰ تا ۲۰، شامل شود چقدر است ؟ جواب خود را به صورت کسر معمولی بیان کنید."
},
{
... |
[
{
"from": "human",
"value": "فرض کنید $p$ احتمال این باشد که در فرایند تکرار پرتاب یک سکه، قبل از مواجه شدن با مجموعه ای متشکل از $2$ دم به دنبالهای شامل $5$ سر برخورد کنیم. با توجه به اینکه $p$ را میتوان به صورت $m/n$ نوشت که $m$ و $n$ اعداد صحیح مثبت نسبتاً اول هستند، مقدار $m+n$ را بدست آوریم.\n"
},
... |
[
{
"from": "human",
"value": "چند عدد چهار رقمی بزرگتر از ۲۹۹۹ میتواند به گونهای تشکیل شود که حاصل جمع دو رقم وسط بیش از ۵ باشد؟"
},
{
"from": "gpt",
"value": "برای اولین رقم ، هفت انتخاب وجود دارد (۳، ۴، ۵، ۶، ۷، ۸ یا ۹). برای آخرین رقم ، ده گزینه وجود دارد (۰ تا ۹)\n\nما میدانیم اگر هر کدام ... |
[
{
"from": "human",
"value": "من ۵ تخته مرمر با شمارههای ۱ تا ۵ را در یک کیسه دارم. فرض کنید که به طور تصادفی دو عدد مختلف از آن بیرون بیاورم. مقدار مورد انتظار مجموع اعداد روی این تختهها چیست؟"
},
{
"from": "gpt",
"value": "من نیازمند یافتن میانگین تمام جمعهای ممکن برای دو تختهٔ متفاوت هستم. ب... |
[
{
"from": "human",
"value": "یک جعبه حاوی ۵ توپ سفید و ۶ توپ سیاه است. دو گلوله به طور تصادفی از این جعبه بیرون کشیده میشوند. احتمال اینکه هر دوی آنها سفید باشند چقدر است؟"
},
{
"from": "gpt",
"value": "تعداد $\\binom{11}{2} = ۵۵$ ترکیب از دو توپ وجود دارد که میتوان آنها را بیرون کشید. عدد ... |
[
{
"from": "human",
"value": "تعداد دنبالههای افزایشی اعداد صحیح مثبت $a_1 \\le a_2 \\le a_3 \\le \\cdots \\le a_{10} \\le ۲۰۰۷$ به گونهای که $a_i-i$ برای $1\\le i \\le ۱۰$ جفت باشد را میتوان با عبارت زیر بیان کرد: ${m \\choose n}$ for some positive integers $m > n$. When $m$ is divided by 1000, calculate... |
[
{
"from": "human",
"value": "تعداد جفتهای مرتب شده از اعداد صحیح مثبت $(a, b)$ را پیدا کنید به طوری که $a+b=1000$ و نه $a$ و نه $b$ دارای رقم صفر باشند.\n"
},
{
"from": "gpt",
"value": "شمارههای $\\left\\lfloor\\frac{999}{10}\\right\\rfloor = 99$ تا ۱۰۰۰ وجود دارند که عدد واحد آنها ۰ است. تمام... |
[
{
"from": "human",
"value": "تعداد راههای مرتب کردن حروف واژه TARTAR. "
},
{
"from": "gpt",
"value": "برای ترتیب دادن حرفهای یک کلمه ، میتوانم از فرمول برای جایگزینی n شیء استفاده کنم که برخی از آنها مشابه هستند. در این مورد ، n = ۶ است ، زیرا شش حرف در Tartar وجود دارد. دو حرف نوع A ، دو حرف ... |
[
{
"from": "human",
"value": "0$ ways, and those remaining characters can be arranged in $3! = 6$ ways, for a total of $10\\cdot 20\\cdot 6\n5. A mathematical organization is producing a set of commemorative license plates. Each plate contains a sequence of five characters chosen from the four letters in AIM... |
[
{
"from": "human",
"value": "اگر من چهار کارت را از یک دست استاندارد ۵۲ دلاری انتخاب کنم ، با جایگزین کردن ، احتمال اینکه در نهایت هر کدام یکی باشد چقدر است ؟"
},
{
"from": "gpt",
"value": "من می خواهم احتمال گرفتن یک کارت از هر دسته را پیدا کنم که به این معنی است که باید اجتناب کنم از گرفتن دو ... |
[
{
"from": "human",
"value": "در چند حالت میتوانم ۳ کاپیتان را از یک تیم ۱۱ نفره انتخاب کنم ؟"
},
{
"from": "gpt",
"value": "این مسئله شمارش ترکیب است ، جایی که ترتیب انتخاب مهم نیست. من می توانم فرمول تعداد ترکیب های n شیء گرفته شده r به طور همزمان را استفاده کنم، که عبارتست از: nCr=n! / (r!( n... |
[
{
"from": "human",
"value": "یک نقطه $P$ به طور تصادفی از ناحیۀ مربع با راسهای در $(\\ pm 2, \\ pm 2) $انتخاب شده است. احتمال این که $P$ داخل واحد مبدأ باشد چیست؟ جواب خود را به صورت کسر مشترک بر حسب $\\ pi$ بیان کنید."
},
{
"from": "gpt",
"value": "من نیازمند یافتن مساحت ناحیه ای هستم که داخل و... |
[
{
"from": "human",
"value": "فرض کنید $P( x) = x^2 - 3x - 9$. یک عدد حقیقی $x$ به طور تصادفی از بازه $5 \\ le x \\ le 15$ انتخاب شده است. احتمال اینکه $\\ lfloor\\ sqrt{ P ( x )}\\ rfloor = \\ sqrt{ P ( \\ lfloor x \\ rfloor)} $ برابر با $\\ frac {\\ sqrt{ a} + \\ sqrt{ b} + \\ sqrt{ c} - d} {e}$ باشد، که د... |
[
{
"from": "human",
"value": "شش عدد گویا از $\\{1,2,3,\\ldots,10\\}$ به طور تصادفی انتخاب شدهاند. احتمال این که دومین کوچکترین مقدار در بین آنها ، ۳$ باشد چقدر است ؟\n$\\textbf{(A)}\\ \\frac{1}{60}\\qquad \\textbf{(B)}\\ \\frac{1}{6}\\qquad \\textbf{(C)}\\ \\frac{1}{3}\\qquad \\textbf{(D)}\\ \\frac{1}{2}\\... |
[
{
"from": "human",
"value": "یک باشگاه ۱۰ عضو دارد، ۵ پسر و ۵ دختر. ۲ نفر از اعضای آن به صورت تصادفی انتخاب میشوند. احتمال اینکه هر دو آنها دختر باشند چقدر است؟"
},
{
"from": "gpt",
"value": "$\\binom{10}{2}=۴۵ راه برای انتخاب کردن دو عضو گروه وجود دارد و $\\binom{5}{2}=۱۰ روش برای انتخاب کردن... |
[
{
"from": "human",
"value": "هر بلوک در شبکه نشان داده شده در شکل ۱ واحد به ۱ واحد است. فرض کنید که ما میخواهیم از $A$ تا $B$ با استفاده از یک مسیر ۷ واحدی راه برویم، اما باید بر روی شبکه باقی بمانیم -- بدون بریدن بین بلاکها. چند مسیر مختلف میتواند وجود داشته باشد؟[asy]size(3cm,3cm);int w=5;int h=4;int... |
[
{
"from": "human",
"value": "چه تعداد ترتیب چهار حرفی میتوان با استفاده از شش حرف $A, B, C, D, E$ و $F$ تشکیل داد، اگر اولین حرف باید $C$ باشد، یکی از حروف دیگر باید $B$ باشد و هیچکدام از حروف نمیتواند بیش از یک بار در این ترتیب قرار بگیرد؟"
},
{
"from": "gpt",
"value": "از آنجایی که موقعیت ا... |
[
{
"from": "human",
"value": "پیدا کردن کوچکترین عدد صحیح مثبت که هم توان یک عدد طبیعی از ۱۱ باشد و پالیندرونم نباشد. "
},
{
"from": "gpt",
"value": "پالیندرونم ، عددی است که در هر دو جهت مثل ۱۲۱ یا ۳۱۳ خوانده میشود. بنابراین میخواهم کمترین توان ۱ را پیدا کنم که پالیندرونم نباشد. من میدانم ۰^۱... |
[
{
"from": "human",
"value": "چند راه برای قرار دادن سه کتاب ریاضی و پنج کتاب انگلیسی در یک قفسه وجود دارد اگر همه کتابهای ریاضیات باید کنار هم بمانند و تمام کتابهای انگلیسی نیز بایستی کنار هم باشند؟ (کتابهای ریاضی متفاوت هستند، همانطور که کتابهای انگلیسی.)"
},
{
"from": "gpt",
"value": "این... |
[
{
"from": "human",
"value": "اگر $x\\%$ از اعداد چهار رقمی یک عدد تکرار شونده داشته باشند) لازم نیست که ارقام تکرارشده همسایه باشند (، آنگاه مقدار $x$ چیست ؟ پاسخ خود را به صورت اعشاری تا نزدیکترین دهم بیان کنید."
},
{
"from": "gpt",
"value": "من نیازمند یافتن کسر اعداد چهار رقمی هستم ، که دار... |
[
{
"from": "human",
"value": "چند مسیر از $A$ به $B$ وجود دارد، اگر هر گام باید بالا یا راست باشد؟[asy]size(4cm,4cm);int w=6;int h=5;int i;pen p=fontsize(9);for (i=0; i<h; ++i){draw((0,i) -- (w-1,i));}for (i=0; i<w; ++i){draw((i, 0)--(i,h-1));}label(\"$A$\", (0,0), SW, p);label(\"$B$\", (w-1,h-1), NE, p);[/a... |
[
{
"from": "human",
"value": "هر کارت در یک دست ، تصویری از شکل دایره، مربع یا مثلث دارد که با یکی از سه رنگ قرمز ، آبی و سبز نقاشی شده است. علاوه بر این ، هر رنگ به وسیلهٔ یکی از سه سایه روشن ، متوسط و تیره اعمال میشود. دسته ۲۷ کارت دارد ، که هر ترکیب شکل-رنگ-سایه نشان داده شدهاست. مجموعه ۳ تایی از کارته... |
[
{
"from": "human",
"value": "در مدرسه اطاعت گودگ، سگها میتوانند یاد بگیرند که سه حقهبازی انجام دهند: نشستن ، ماندن و چرخیدن. از میان سگها در این مدارس: \\begin{tabular}{l@{\\qquad}l}\n۵۰ سگ میتوانند بنشینند & ۱۷ سگ هم میتوانند بنشینند و بمانند \\\\\n۲۹ سگ میتوانند بمانند & ۱۲ سگ میتوانند بمانند و چرخ... |
[
{
"from": "human",
"value": "ضریب $x^2y^6$ در گسترش $\\left( frac{3} {5} x- frac{y} {\\displaystyle \\,\\!_{2}\\right)^8$ چقدر است ؟ پاسخ خود را به صورت کسر معمولی بیان کنید."
},
{
"from": "gpt",
"value": "برای یافتن ضریب $x^2y^6$ در توسعه $\\left( frac{3} {5} x- frac{y} {2}\\ right) ^8$ ، باید ... |
[
{
"from": "human",
"value": "لاتاری در ایالت ما از دو قسمت تشکیل شده است. ۱- یک توپ بزرگ (MegaBall) از بین ۲۷ عدد انتخاب میشود. ۲- پنج گل برنده (Winnerballs) از میان ۴۴ عدد انتخاب میشوند. برای بردن بلیط، شما باید شمارهٔ MegaBall را درست و همچنین اعداد روی ۵ تا Winnerball را هم درست انتخاب کنید(اما نیازی ن... |
[
{
"from": "human",
"value": "جان 6 تخته مرمر سبز و 4 تخته مرمر بنفش دارد. او به طور تصادفی یکی از آنها را انتخاب میکند، رنگ آن را مینویسد و سپس آن را برمیگرداند. این فرایند ۵ بار تکرار میشود. احتمال اینکه دقیقاً دو تا سنگ مرمر سبز انتخاب کند چقدر است؟"
},
{
"from": "gpt",
"value": "$\\binom{... |
[
{
"from": "human",
"value": "Allen and Bethany each arrive at a party in an random time between 1:00 and 2:00. Each stays for 15 minutes, then leaves. احتمال اینکه آلن و بتانی یکدیگر را در مهمانی ببینند چقدر است؟"
},
{
"from": "gpt",
"value": "بگذارید محور $x$ نشان دهنده زمان رسیدن الین باشد، ... |
[
{
"from": "human",
"value": "بیست کاشی از ۱ تا ۲۰ شمارهگذاری شدهاند و در جعبه $A$ قرار گرفتهاند. بیست کاشی دیگر با اعداد ۱۱ تا ۳۰ در جعبه $B$ گذاشته میشوند. یک کاشی به طور تصادفی از هر جعبه کشیده میشود. احتمال این که کاشی از جعبه $A$ کمتر از ۱۵ باشد و کاشی از جعبه $B$ یا جفت باشد یا بزرگتر از ۲۵، چقدر... |
[
{
"from": "human",
"value": "یک دزدان دریایی به دنبال گنج دفن شده بر روی ۶ جزیره هستند. برای هر جزیره ، شانس ۱/ ۴ وجود دارد که این جزایر دارای گنج و بدون دام باشند ، شانس ۱۲/ ۱ اینکه این جزایر دام داشته باشد اما هیچ گنجی نداشته باشد ، و شانس ۳/ ۲ آنکه نه تله ای داشته باشد و نه گنجینهای. احتمال یافتن دقیقاً... |
[
{
"from": "human",
"value": "$\\$50 - \\$3 = \\$47$ to spend on jogs. Since each jog costs $\\$7$, I can divide $\\$47$ by $\\$7$ to get the number of jogs I can buy. $\\$47 \\div \\$7 = 6$ with a remainder of $\\$5$. Therefore, the largest number of jogs I can buy is 6. If Bill wants to maximize the number... |
[
{
"from": "human",
"value": "محاسبه بدون استفاده از ماشین حساب: $9!/8!$"
},
{
"from": "gpt",
"value": "برای محاسبه کردن $9!/8!$ بدون استفاده از ماشین حساب، باید تعریف نماد فاکتوریل را به یاد بیاورم. فاکتوریل یک عدد صحیح مثبت n که با!n نشان داده میشود ، حاصل ضرب تمام اعداد طبیعی بین ۱ و n است. ب... |
[
{
"from": "human",
"value": "=10626$$ $$\\binom{23}{4}+\\binom{23}{5}=8855+33649=42504$$\n\nTherefore, the sum of ℵ(n-1)/k and ℶ(n-1)/k is n."
},
{
"from": "gpt",
"value": "We can use Pascal's identity $\\binom{n-1}{k-1}+\\binom{n-1}{k}=\\binom{n}{k}$ to find $\\binom{24}{4}$ and $\\binom{24}{5}... |
[
{
"from": "human",
"value": "دو عدد صحیح ، نسبتاً اول هستند اگر فاکتور مشترکی غیر از ۱ یا - ۱ نداشته باشند. احتمال اینکه یک عدد مثبت کوچکتر یا برابر ۳۰ نسبت به ۳۰ اول باشد چقدر است ؟ پاسخ خود را به صورت کسر معمول بیان کنید."
},
{
"from": "gpt",
"value": "ممکن است پیدا کردن اعداد صحیح کوچکتر یا ... |
[
{
"from": "human",
"value": "یک دست استاندارد ۵۲ کارت شامل ۱۳ رتبه (آس، ۲، ۳، ۴، ۵، ۶، ۷، ۸، ۹، ۱۰، سرباز، بیبی، شاه) و چهار رنگ ($\\ suit پیک $, $\\ suit دل $, $\\ suit خشت $, and $\\ suit خاشاک $)، به طوری که دقیقاً یک کارت برای هر درجه و رنگ داده شده وجود دارد. دو تا از این رنگها ($\\ suit پیک $و $\\ c... |
[
{
"from": "human",
"value": "چند عدد صحیح مثبت سه رقمی کمتر از ۵۰۰ حداقل دو رقم یکسان دارند؟"
},
{
"from": "gpt",
"value": "برای حل این مسئله، تعداد اعداد سهرقمی کوچکتر از ۵۰۰ را که حداقل دو رقم مشابه داشته باشند میشمارم و آنرا از مجموع اعداد سهرقمی کوچکتر از ۵۰۰ کم میکنم. شمار کل اعداد سه... |
[
{
"from": "human",
"value": "چند راه برای قرار دادن ۵ توپ در ۲ جعبه وجود دارد اگر توپها قابل تشخیص نباشند اما جعبهها هستند؟"
},
{
"from": "gpt",
"value": "این مساله در مورد شمارش تعداد تقسیمات ۵ توپ به ۲ جعبهاست ، که ترتیب جعبه اهمیت دارد. یک روش برای نزدیک شدن به این مشکل این است که فکر کنید... |
[
{
"from": "human",
"value": "چند عدد صحیح $n$ شرط ۱۰۰ < n < ۲۰۰ را برآورده میکنند و شرط $n$ باقیمانده یکسانی دارد چه به ۶ یا ۸ تقسیم شود؟"
},
{
"from": "gpt",
"value": "از آنجا که $n$ اگر به شش یا ۸ بخش پذیر باشد، همان مقدار باقی میماند، میتوانیم بنویسیم: $n = 6a + r = 8b + r$, where $0\\leq... |
[
{
"from": "human",
"value": "مقدار $\\left(\\sqrt{4!\\cdot 3!}\\right)^2$ چقدر است؟"
},
{
"from": "gpt",
"value": "میبینیم که $$\\left(\\sqrt{4!\\cdot 3!}\\right)^2 = 4!\\cdot 3! = ۲۴\\cdot ۶ = ۱۴۴."
}
] |
[
{
"from": "human",
"value": "تیم Cubs در مسابقات جهانی با Red Sox رقابت میکند. برای برنده شدن ، یک تیم باید ۴ بازی را قبل از بقیه بردارد. اگر Cubs هر بازی را با احتمال $\\ dfrac{ 3} {5}$ ببرد و هیچ تساوی وجود نداشته باشد ، چه مقدار احتمال دارد که Cubs قهرمان شود ؟ پاسخ خود را به صورت درصدی بیان کنید تا نزد... |
[
{
"from": "human",
"value": "تعیین کنید که چند راه برای مرتب کردن حروف کلمه خانم وجود دارد."
},
{
"from": "gpt",
"value": "من متوجه شدم که واژه MADAM دو حرف A و دو حرف M دارد، که از هم قابل تشخیص نیستند. این بدان معناست که اگر قرار بود همه ترتیبهای ممکن پنج حرف را فهرست کنم ، در نهایت برخی از آن... |
[
{
"from": "human",
"value": "هر شماره صفحهای از یک کتاب ۴۸۸ صفحه ای، تنها یک بار در آن چاپ میشود. اولین صفحه ۱ است و آخرین صفحه ۴۸۸ میباشد. هنگامی که تمام اعداد صفحه را پرینت میکنید ، چند عدد «۴» بیشتر از ۸ها چاپ میشوند ؟"
},
{
"from": "gpt",
"value": "اگر لازم باشد صفرهای مقدماتی را وارد ... |
[
{
"from": "human",
"value": "چند راه برای تقسیم یک گروه ۶ نفره از دوستان بین تیم بسکتبال، فوتبال و دوچرخهسواری وجود دارد؟ (هر تیم میتواند هر کجا از صفر تا ۶ دوست داشته باشد. فرض کنید که دوستان قابل تشخیص هستند)"
},
{
"from": "gpt",
"value": "میخواهم تعداد راههای اختصاص دادن هر دوست به یکی ... |
[
{
"from": "human",
"value": "محاسبه $\\ dbinom{ 16} {5}$. "
},
{
"from": "gpt",
"value": " ضریب دوجملهای $\\ dbinom{ n} {k} $ تعداد راههای انتخاب کردن اشیا $k$ از بین اشیای متمایز $n$ ، بدون در نظر گرفتن ترتیب شمارش میکند. من میتوانم از فرمول زیر استفاده کنم: $\\ dbinom{ n} {k} = \\ frac{ n!... |
[
{
"from": "human",
"value": "در کلاس پیش دبستانی خانم تیلور ۳۰ دانشآموز وجود دارد. اگر دو برابر تعداد دانشآموزان با موهای بلوند و چشمهای آبی، ۶ دانشآموز با موی بلوند و چشمهای آبی و ۳ دانشآموز که هیچ کدام از این دو را ندارند باشند، چند نفر از آنها چشمهای آبی دارند؟"
},
{
"from": "gpt",
"v... |
[
{
"from": "human",
"value": "فرض کنید $A$ برابر تعداد اعداد فرد چهار رقمی باشد. فرض کنید $B$ معادل عدد مضاعفهای ۴ رقمی ۵ باشد. پیدا کردن $A+B$"
},
{
"from": "gpt",
"value": "برای یافتن $A$، باید به این فکر کنم که چطور یک عدد زوج چهار رقمی بسازم. اولین رقم میتواند هر کدام از ۹ رقم غیر صفر باشد... |
[
{
"from": "human",
"value": "در یک مسابقه دو و میدانی بین ۲ تیم متشکل از ۵ دوینده، هر دویندهای که در رتبۀ $n$ام به پایان برسد ، با اضافه کردن $n$ امتیاز به مجموع امتیازات تیمش برنده خواهد شد. اگر میان دوندگان هیچ تساوی وجود نداشته باشد ، چند عدد امتیاز پیروزی ممکن است ؟\n(A) ۱۰ (B) ۱۳ (C) ۲۷ (D) ۱۲۰ (E) ۱۲... |
[
{
"from": "human",
"value": "جنا با چهار دوستش در یک نمایشگاه است. همه آنها میخواهند سوار ترن هوایی شوند، اما فقط سه نفر میتوانند داخل ماشین بنشینند. پنج تا از آنها چند گروه سهتایی را تشکیل خواهند داد؟"
},
{
"from": "gpt",
"value": "برای پاسخ دادن به این سؤال ، من نیاز دارم بدون در نظر گرفتن... |
[
{
"from": "human",
"value": "چند عدد از اعداد طبیعی بین ۱ تا ۶۰۰، حداقل یک بار حاوی رقم ۵ هستند؟ (اعداد ۱۵۲ و ۵۵۳ دو عدد طبیعی اند که حداقل یکبار حاوی رقم 5 میباشند ، اما ۴۳۰ اینطور نیست.)"
},
{
"from": "gpt",
"value": "من میخواهم بشمارم چه تعداد عدد در جایگاه واحدها ، ده ها یا صدها دارای پنج ب... |
[
{
"from": "human",
"value": "بستنی فروشی مشتاق است که تعداد طعمهای موجود را اعلام کند. اما در واقع فقط سه طعم اساسی دارد: شکلات، وانیل و توت فرنگی. با این حال آنها میتوانند با گرفتن چهار قاشق از آن طعمها و مخلوط کردنشان با هم طعم « جدید » درست کنند. نسبتهای مختلف طعم های اصلی باعث ایجاد طعمهای متفاوت می... |
[
{
"from": "human",
"value": "در یک گروه ۹ نفره ، هر فرد با دقیقاً دو نفر از افراد دیگر دست میزند. فرض کنید $N$ تعداد روشهایی باشد که این دست دادن میتواند اتفاق بیفتد. دو حالت مختلف دست زدن را در نظر بگیرید اگر و تنها اگر حداقل ۲ نفری که طبق یکی از ترتیبها دست میزنند، مطابق دیگری دست نمیزنند. باقیماند... |
[
{
"from": "human",
"value": "تعداد پالیندرومهای پنج رقمی را پیدا کنید."
},
{
"from": "gpt",
"value": "یک پالیندرونم ، عدد یا واژه ای است که به صورت جلو و عقب هم خوانده میشود ، مانند ۱۲۳۲۱ یا ماشین مسابقهای. برای تشکیل یک پالیندرونم پنج رقمی ، باید ارقام اول ، دوم و سوم را انتخاب کنم ، سپس ارق... |
[
{
"from": "human",
"value": "حاصل جمع ارقام ۳۲۱۴ برابر ۲۴ است. چند عدد صحیح مثبت چهار رقمی وجود دارد که حاصل ضرب اعداد آنها مساوی ۱۲ باشد؟"
},
{
"from": "gpt",
"value": "اولاً باید گروههای مختلف ۴ عدد یکرقمی را پیدا کنیم که حاصل آنها 12 میباشد. واضح است که نمیتوانیم از ۱ به عنوان یکی از این... |
[
{
"from": "human",
"value": "محاسبه کنید $\\dbinom{50} {2}$."
},
{
"from": "gpt",
"value": "من نیاز دارم تعداد راههای انتخاب دو مورد از بین پنجاه مورد، بدون در نظر گرفتن ترتیب را پیدا کنم. به یاد میآورم که فرمول ضریب دوجملهای $\\dbinom{n}{k}$ برابر است با: $\\frac{n!} {k!(n- k)!}$ ،که در آن $... |
[
{
"from": "human",
"value": "چهار خط افقی و چهار خط عمودی در یک صفحه کشیده شدهاند. چند راه برای انتخاب این خطوط وجود دارد که ناحیۀ مستطیلی را احاطه کند ؟"
},
{
"from": "gpt",
"value": "برای تشکیل دادن ناحیه ای مستطیل شکل ، باید دو خط افقی و دو خط عمودی را برگزینم. ۴ خط افقی وجود دارند ، بنابرای... |
[
{
"from": "human",
"value": "کارتهای $۵۲$ در یک دست ورق شمارهگذاری شدهاند: $۱, ۲، \\cdots, ۵۲. الکس ، بلر ، کوری و دیلن هر کدام بدون جایگزین کردن یک کارت از دسته انتخاب میکنند که احتمال برگزیده شدن آنها برابر است. دو نفر با عدد پایینتر از یک تیم هستند و دو نفر با اعداد بالاتر گروه دیگری را تشکیل میدهن... |
[
{
"from": "human",
"value": "یک پخشکنندۀ امپیتری o-Pod تمام آهنگها را ذخیره و اجرا میکند. سلست 10 قطعهٔ موسیقی در o-Pod خود دارد. طول زمان هر آهنگ متفاوت است. هنگامی که آهنگها بر اساس طول مرتب میشوند، کوتاهترین آنها تنها ۳۰ ثانیه طول میکشد و تکههای بعدی آن نیز ۳۰ ثانیه از قبلی طولانیتر هستند. آهن... |
[
{
"from": "human",
"value": "هیچ دو دانش آموزی در کلاس ریاضی ۲۶ نفره خانم ویل دارای نامهای آغازین یکسان نیستند. اسم و فامیل هر دانشجوی با حروف مشابه شروع میشود. اگر حرف « Y » را به عنوان یک واکه در نظر بگیریم ، احتمال برگزیدن بهطور تصادفی یکی از شاگردانی که نام اولشان واکهاست چقدر است ؟ پاسخ خود را به ص... |
[
{
"from": "human",
"value": "احتمال این که جذر مربعی یک عدد صحیح دو رقمی تصادفی کمتر از ۸ باشد چقدر است ؟ پاسخ خود را به صورت کسر معمولی بیان کنید."
},
{
"from": "gpt",
"value": "۹۰ گزینه برای یک عدد صحیح مثبت دو رقمی وجود دارد. از اینها ، همۀ اعداد صحیح $n< 64$ برابر با $\\ sqrt{ n} < 8$ هستند.... |
[
{
"from": "human",
"value": "اگر $x+\\ frac1x=- ۵$، آنگاه چه مقداری برابر است با $x^3+\\ frac1{ x^3}$؟"
},
{
"from": "gpt",
"value": "برای حل این مسئله از معادله ای استفاده میکنم که به صورت زیر نوشته شده: $(x+\\ frac1x) ^3=x^3+\\ frac1{ x^3} +3( x+\\ frac1x) $که میتواند توسط گسترش سمت چپ و ساد... |
[
{
"from": "human",
"value": "در لیگ فریزبی محلی، تیمها ۷ عضو دارند و هر کدام از ۴ تیم به نوبت میزبان مسابقات هستند. در هر مسابقه ، هر تیم دو نفر از اعضای خود را برای حضور در کمیته انتخاب میکند ، به جز تیم میزبانی که سه نماینده دارد. چند تا کمیتهٔ ۹نفره ممکن وجود دارد ؟"
},
{
"from": "gpt",
"va... |
[
{
"from": "human",
"value": "هشت سکه به صورت همزمان برگردانده میشوند. احتمال این که در حداکثر دو تا از آنها سر ظاهر شود چقدر است؟"
},
{
"from": "gpt",
"value": " تعداد راههایی که نتیجه دقیقاً ۱، ۲ یا ۳ سر داشته باشد $\\binom{8}{0}=1$, $\\binom{8}{1}=8$ و $\\binom{8}{2}=۲۸$ میباشد."
}
] |
[
{
"from": "human",
"value": "مقدار $\\sqrt{3! \\cdot 3!}$ به صورت یک عدد صحیح مثبت چیست؟"
},
{
"from": "gpt",
"value": "$\\sqrt{3!\\cdot3!}$ برابر است با $\\sqrt{(3!)^2}=3!=3\\cdot2\\cdot1=6$."
}
] |
[
{
"from": "human",
"value": "تایلر وارد یک خط بوفه شده است که در آن او یک نوع گوشت، دو سبزیجات مختلف و یک دسر را انتخاب میکند. اگر ترتیب مواد غذایی مهم نباشد، چند وعدهٔ متفاوت میتواند انتخاب کند؟\n\n$\\bullet$ گوشت: گوسفند، مرغ، خوک\n\n$\\bullet$ سبزیجات: لوبیا پخته، ذرت، سیب زمینی، گوجه فرنگی\n\n$\\bu... |
[
{
"from": "human",
"value": "من ۱۰ جوراب متمایز در کشو دارم: ۴ سفید، ۴ قهوه ای و ۲ آبی. از چند راه میتوانم یک جفت جوراب انتخاب کنم اگر دو تا هم رنگ داشته باشم؟"
},
{
"from": "gpt",
"value": "میخواهم تعداد راههای انتخاب کردن دو جفت جوراب با همان رنگ را بشمارم بنابراین باید هر رنگ را جداگانه در... |
[
{
"from": "human",
"value": "اگر ترتیبی که کتابها انتخاب شدهاند مهم نباشد، با چه تعداد روش میتوان از یک قفسه ۶ تایی ۴ کتاب را برگزید؟"
},
{
"from": "gpt",
"value": "این مسئله از من میخواهد بدون در نظر گرفتن مرتبه ، تعداد ترکیبهای ۴ کتاب از مجموع ۶ کتاب را بشمارم. به یاد بیاورید که فرمول برا... |
[
{
"from": "human",
"value": "چند عدد صحیح زوج سه رقمی وجود دارد که ارقام آنها، از چپ به راست خوانده شوند، در ترتیب افزایشی دقیق (هر رقم بزرگتر از رقم قبلی است) هستند؟"
},
{
"from": "gpt",
"value": "بگذارید اعداد حقیقی $a$, $b$ و $c$ را داشته باشیم، از چپ به راست بخوانیم. چون $1 \\leq a<b<c$ هیچ... |
[
{
"from": "human",
"value": "هر مربع واحد از یک شبکه سه در سه باید با آبی یا قرمز رنگ آمیزی شود. برای هر مربع، احتمال استفاده از هر دو رنگ برابر است. احتمال بدست آوردن شبکهای که دارای مربع ۲ در ۲ قرمز نباشد $\\frac {m}{n}$ میباشد ، جایی که $m$ و $n$ اعداد صحیح مثبت نسبی هستند. پیدا کنید: $m + n$\n"
},
... |
[
{
"from": "human",
"value": "چهار نقطه متمایز ، $A$, $B$، $C$ و $D$ از بین نقاطی که به طور یکنواخت در دور دایره قرار گرفتهاند انتخاب میشوند. همۀ چهارتاییها با احتمال برابر انتخاب خواهند شد. چقدر احتمال دارد که وتر $\\overline{AB}$ برخورد کند با وتر $\\overline{CD}$؟"
},
{
"from": "gpt",
"valu... |
[
{
"from": "human",
"value": "فرض کنید $S$ مجموعهٔ همهٔ سهتاییهای مرتب شده از اعداد صحیح $(a_1, a_2, a_3)$ با $1 \\le a_1, a_2, a_3 \\le 10$ باشد. هر سهتای منظم در $S$ یک دنباله را بر اساس قانون $a_n=a_{n-1}\\cdot | a_{n-2}-a_{n-3} |$ برای همه $n\\ge 4$ تولید میکند. تعداد چنین توالیهایی که برای آنها $a_... |
[
{
"from": "human",
"value": "چند عدد سه رقمی مضرب ۵ و ۷ نیستند؟"
},
{
"from": "gpt",
"value": "من نیاز دارم که بفهمم چند عدد بین ۱۰۰ و ۹۹۹ بر ۵ یا ۷ بخشپذیر نیستند. یکی از راههای انجام این کار استفاده از اصل شامل- حذف است، که میگوید تعداد عناصر در اتحاد دو مجموعه برابر با مجموع اعداد هر یک از... |
[
{
"from": "human",
"value": "در یک مسابقه ، هر بازیکن دقیقاً با یکی از دیگر بازیکنان بازی میکند. برنده هر بازی ۱$ امتیاز، بازنده ۰$ امتیاز و اگر بازی مساوی بود هر کدام از دو بازیکن $\\frac{1} {2}$ امتیاز کسب میکنند. بعد از پایان مسابقه مشخص شد که درست نصف امتیازات بدست آمده توسط هر بازیکن به ده نفر کمنمر... |
[
{
"from": "human",
"value": "عبارت ثابت در گسترش $\\left( \\sqrt{x}+\\dfrac5x\\right)^{9}$ چیست؟"
},
{
"from": "gpt",
"value": "توجه میکنم که این عبارت یک دوجملهای به توان است، بنابراین میتوانم از قضیه دوجملهای برای توسعه آن استفاده کنم. قضیهٔ دوجملهای میگوید: $\\left( a+b\\ right) ^{n}=\\... |
[
{
"from": "human",
"value": "محاسبه کنید $\\dbinom{8}{0}$."
},
{
"from": "gpt",
"value": "برای محاسبه ضریب دوجملهای، میتوانم از فرمول زیر استفاده کنم: = \\frac{n!} {k!(n- k)!}$ که در آن n فاکتوریل n است و به این معناست که حاصل ضرب تمام اعداد صحیح مثبت تا n را نشان میدهد. در این مورد ، n = ۸$و... |
[
{
"from": "human",
"value": "احتمال این که فاطمه اگر ۱۰ سکه را پرتاب کند، کمتر سر بگیرد تا دم چقدر است؟"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ما میتوانیم با استفاده از کارهای موردی این مسئله را حل کنیم اما کمی تقارن و احتمالات مکمل به ما یک راه حل ظریفتر میدهد. چون هر سکه یا سر میاندازد یا دم با اح... |
[
{
"from": "human",
"value": "دو عدد مختلف به طور همزمان و تصادفی از مجموعه $\\{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7\\}$ انتخاب شدهاند. احتمال اینکه اختلاف مثبت بین این دو عدد برابر یا بیشتر از $۲$ باشد چقدر است ؟ جواب خود را با کسر مشترک بیان کنید."
},
{
"from": "gpt",
"value": " من نیاز دارم تعداد راههای انتخا... |
[
{
"from": "human",
"value": "دو رقم آخر جمع زیر را پیدا کنید: $$5! + 10! + 15! + \\cdots + 100!$$"
},
{
"from": "gpt",
"value": "توجه میکنم که این مجموع فاکتوریلهاست، که حاصل اعداد صحیح مثبت متوالی هستند. همچنین توجه میکنم که عبارت $10!$ از قبل با دو صفر پایان یافته است ، چراکه دارای دو عامل... |
[
{
"from": "human",
"value": "اگر دو دانش آموز از ایستادن در کنار یکدیگر خودداری کنند، چه تعداد راه مختلف برای چهار دانش آموز وجود دارد که بتوانند در خط مستقیم بایستند؟"
},
{
"from": "gpt",
"value": "این مسئله شامل شمارش تعداد ترتیب های ممکن چهار دانش آموز است، که نوع جایگزینی می باشد. با این حال... |
[
{
"from": "human",
"value": "احتمال بارش باران فردا $\\frac{3}{10}$ است. احتمال اینکه فردا باران نبارد چقدر است؟ پاسخ خود را به صورت کسر مشترک بیان کنید."
},
{
"from": "gpt",
"value": "میدانم که مجموع احتمالات تمام نتایج ممکن یک رویداد ۱ است. پس اگر احتمال بارش باران فردا $\\frac{3}{10}$ باشد،... |
[
{
"from": "human",
"value": "بیست و پنج شوالیه شاه آرتور در میز گرد سنتی خود نشسته اند. سه تا از آنها انتخاب می شوند - همه گزینهها با احتمال یکسان هستند - و برای کشتن اژدهای آزاردهنده فرستاده میشوند. فرض کنید $P$احتمال این باشد که حداقل دو نفر از آن سه نفر کنار هم بنشینند. اگر $P$به عنوان کسر نوشته شود ، ... |
[
{
"from": "human",
"value": "جف و ترور هر کدام یک مهره شش ضلعی درست را پرتاب میکنند. احتمال اینکه حاصل ضرب اعدادی که آنها میاندازند، عدد زوج باشد چقدر است؟"
},
{
"from": "gpt",
"value": "از آنجا که ۳ تا از ۶ وجه روی هر تاس فرد هستند، این میتواند در $۳ \\times ۳ = ۹$ راه اتفاق بیفتد. بنابراین... |
[
{
"from": "human",
"value": "یک نقطه $P$ به طور تصادفی در داخل مثلث راست زیر قرار داده شده است. احتمال اینکه مساحت مثلث $PBC$ کمتر از نصف مساحت مثلث $ABC$ باشد چقدر است؟ جواب خود را با کسر مشترک بیان کنید. [asy]\nsize(7cm);\ndefaultpen(linewidth(0.7));\npair A=(0,5), B=(8,0), C=(0,0), P=(1.5,1.7);\ndraw(A--... |
[
{
"from": "human",
"value": "چند روز در سال ۲۰۰۱ تا ۲۰۰۴ وجود داشت؟"
},
{
"from": "gpt",
"value": "برای پاسخ به این سؤال، من نیاز دارم که یادآوری کنم سال عادی چند روزه است و سال کبیسه چه تعداد. یک سال معمولی ۳۶۵ روز دارد و یک سال کبیسه ۳۶۶ روز دارد. هر چهار سال یک بار سالهای کبیسه رخ میدهد مگر... |
[
{
"from": "human",
"value": "محاسبه کنید $\\dbinom{10}{8}$."
},
{
"from": "gpt",
"value": "$\\dbinom{10}{8}=\\dbinom{10}{2}=45."
}
] |
[
{
"from": "human",
"value": "یک جعبه حاوی ۶ کارت است. ۳ تا از این کارتها در هر دو طرف سیاه هستند، ۱ تای آنها در یک سمت و قرمز در سوی دیگر قرار دارد، ۲ تای آنها نیز در هر دو طرف قرمزند. شما به طور همسان و تصادفی یکی از کارتهای جعبه را برمیدارید و به سمتی که میبینید نگاه میکنید. با فرض اینکه سمتی که مشا... |
[
{
"from": "human",
"value": "فرض کنید $N$ تعداد اعداد صحیح مثبتی باشد که کوچکتر یا مساوی با $2003$ باشند و نمایش پایه-$2$ آنها بیشتر از $1$'s نسبت به $0$'s است. باقیمانده را هنگامیکه $N$ بر $1000$ تقسیم میشود، پیدا کنید.\n"
},
{
"from": "gpt",
"value": "در نمایش پایه-$2$ همه عددهای مثبت یک رقم... |
[
{
"from": "human",
"value": "چند عدد طبیعی بزرگتر از ۶ و کوچکتر از 60 نسبتاً اول به ۱۵ هستند؟"
},
{
"from": "gpt",
"value": "برای اینکه یک عدد نسبتاً اول به 15 باشد، باید هیچ عامل مشترک دیگری با 15 نداشته باشد جز ۱. این بدان معناست که نمیتواند بر ۳ یا ۵ تقسیم شود، عوامل اولیهٔ 15. پس میخواهم ... |
[
{
"from": "human",
"value": "محاسبه بدون استفاده از ماشین حساب: $\\ dfrac{ 9! } {6! 3! }$"
},
{
"from": "gpt",
"value": " این مسئله فاکتوریلها را شامل میشود ، که حاصل ضربهای تکراری اعداد صحیح هستند. برای مثال!۹ به معنی ۹ × ۸ × ۷ × … × ۱ است. یک راه ساده کردن این کسر حذف عوامل مشترک در شمارنده... |
[
{
"from": "human",
"value": "هشت مثلث متساوی الاضلاع همسان، که هر کدام رنگ متفاوت دارند ، برای ساختن یک هگزاگونال منظم استفاده میشوند. چند راه متمایز وجود دارد تا این هگزاگونل را بسازید ؟ (دو هگزاگونال با رنگهای مختلف قابل تمایز هستند اگر هیچکدام از آنها نتوانند چرخانده شوند و شبیه به دیگری باشند)\n[asy]... |
[
{
"from": "human",
"value": "فرض کنید $\\mathcal{S}$ مجموعهٔ $\\lbrace1,2,3,\\ldots,10\\rbrace$ باشد. (مجموعههای ناهمبند به عنوان مجموعهای تعریف میشوند که هیچ عضو مشترکی ندارند) باقیمانده حاصل از تقسیم $n$ بر $۱۰۰۰$ را پیدا کنید.\n"
},
{
"from": "gpt",
"value": "بگذارید دو زیرمجموعهٔ ناهمبند... |
[
{
"from": "human",
"value": "یک زمینشناس مشتاق، مسابقهای را برگزار میکند که در آن شرکت کنندگان باید سن سنگهای براق را حدس بزنند. او این سرنخها را ارائه میدهد: سن سنگ از شش رقم ۲ ،۲ ،۲ ،۳ ،۷ و ۹ تشکیل میشود و سن سنگی با عدد فرد آغاز میگردد.\n\nچقدر احتمال وجود دارد برای تعیین سن سنگ؟ "
},
{
"... |
[
{
"from": "human",
"value": "جان باید قطار را بگیرد. قطار به طور تصادفی بین ساعت ۲ و ۳ میآید، ۲۰ دقیقه صبر میکند و سپس حرکت میکند. اگر جان نیز بهطور تصادفی بین ساعت ۲ و ۳ بیاید، احتمال اینکه وقتی که جان رسیده باشد قطار آنجا خواهد بود چقدر است؟"
},
{
"from": "gpt",
"value": "زمانی که قطار می... |
[
{
"from": "human",
"value": "اعداد صحیح مثبت چهار رقمی که هر کدام از ۴ عدد $1,$ $2,$ $3,$ و $4$ را دقیقاً یک بار استفاده میکنند ، به ترتیب کوچکترین تا بزرگترین مرتب شدهاند. عدد درست $15^{\\text{th}}$ در فهرست چیست ؟"
},
{
"from": "gpt",
"value": "برای پیدا کردن عدد درست $15^{\\text{th}}$ در ل... |
[
{
"from": "human",
"value": "چند مثلث با مساحت مثبت وجود دارد که رئوسشان نقاطی در $xy$-مسطح هستند و مختصات آنها اعداد صحیح $(x,y)$ است، به طوریکه $1\\le x\\le 4$و $1\\le y\\le 4$را برآورده میکنند؟\n$\\text{(A) } ۴۹۶\\quad \\text{(B) } ۵۰۰\\quad \\text{(C) }۵۱۲\\quad \\text{(D) } ۵۱۶\\quad \\text{(E) } ۵۶۰... |
[
{
"from": "human",
"value": "یک چراغ راهنمایی به صورت تکرار شونده از چرخهٔ زیر عبور میکند: سبز برای ۳۰ ثانیه، سپس زرد برای ۳ ثانیه و بعد قرمز برای ۳۰ ثانیه. ۱- لیآیا یک بازهٔ زمانی سه ثانیهای را انتخاب کرده تا نور را تماشا کند. ۲- احتمال اینکه رنگ در حالی که او نگاه میکند تغییر کند چقدر است؟"
},
{
... |
[
{
"from": "human",
"value": "ماریوس در یک مسابقه عکسبرداری از حیات وحش شرکت میکند، و میخواهد هفت پلنگ برفی خود را با ارتفاعهای مختلف پشت سر هم قرار دهد. اگر کوتاهترین دو پلنگ دارای توهم حقارت باشند و بخواهند که در انتهای ردیف قرار داده شوند، چند راه برای کنار هم گذاشتن آنها وجود دارد؟"
},
{
"fro... |
[
{
"from": "human",
"value": "چند راه برای قرار دادن ۴ توپ نامتمایز در ۲ جعبه ناهمسان وجود دارد؟"
},
{
"from": "gpt",
"value": "در این مسئله، ما فقط نیاز داریم که تعداد راههای تقسیم کردن چهار آیتم به دو گروه را بشماریم."
}
] |
[
{
"from": "human",
"value": "بزرگترین عامل اول $2$ رقمی عدد صحیح $n = {۲۰۰\\choose ۱۰۰}$ چیست؟\n"
},
{
"from": "gpt",
"value": "با گسترش ضریب دوجملهای، به دست میآوریم که: ${۲۰۰ \\choose ۱۰۰}=\\frac{۲۰۰!}{۱۰۰! ۱۰۰!}$. بگذارید عنصر اولیه مورد نیاز $p$ باشد؛ سپس $۱۰ \\le p < ۱۰۰$. اگر $p > ۵۰$ ، ... |
End of preview. Expand
in Data Studio
No dataset card yet
- Downloads last month
- 10